سؤال شائع وجواب أفضل
«هل نجري CFD أم FEA على هذا المبادل الحراري؟» هذا من أكثر الأسئلة التي يسمعها مهندس التحليل، والجواب الصادق عادة: «الاثنان معاً، بترتيب معيّن، والترتيب أهم من الاختيار».
CFD أم FEA باختصار: يتنبأ CFD (ديناميكا الموائع الحسابية) بكيفية حركة الموائع ونقلها للحرارة؛ ويتنبأ FEA (التحليل بالعناصر المحدودة) في الغالب بكيفية تشوه الأجسام الصلبة واهتزازها وتحمّلها للإجهادات. يجيب CFD عن أسئلة الجريان وهبوط الضغط والخلط ومعاملات انتقال الحرارة؛ ويجيب FEA عن أسئلة الإجهاد والإزاحة والكلال والترددات الطبيعية. وحيث تنتقل الحرارة أو القوة من مائع إلى منشأ، يصبح خرج أحد النموذجين دخلاً للآخر، وينتقل الخطأ معه. يشرح هذا المقال لماذا نشأت لكل منهما رياضيات مختلفة، وأين يلتقيان، وكيف يصبح عدم اليقين في نتيجة CFD، بالأرقام، عدم يقين في إجهاد.
لماذا تقارن عبارة «CFD أم FEA» بين أشياء غير متكافئة
تضع العبارة مجالاً تطبيقياً في مقابل طريقة. وكما تقول Cadence في أحد أفضل شروح الشركات المورّدة، فإن FEA طريقة لبناء مخطط عددي، بينما CFD مجال تطبيقي للطرق الحسابية. يمكن للعناصر المحدودة أن تحل مسائل موائع، ويمكن للحجوم المحدودة أن تحل مسائل أجسام صلبة. والأزواج المتكافئة هي هذه:
| بحسب التطبيق | بحسب الطريقة |
|---|---|
| محاكاة الموائع (CFD) مقابل محاكاة الإنشاءات | طريقة الحجوم المحدودة مقابل طريقة العناصر المحدودة |
عملياً يتطابق الزوجان: معظم برامج CFD التجارية تعتمد الحجوم المحدودة، ومعظم برامج الإنشاءات تعتمد العناصر المحدودة. والأسباب رياضية، وهي تفسر الكثير عن طريقة فشل كل نوع من النماذج.
لماذا تُحل الموائع غالباً بالحجوم المحدودة
يكتب برنامج الحجوم المحدودة قانون الحفظ لكل خلية بالصيغة التكاملية، مع حدود للتخزين والحمل والانتشار والمصدر:
كل ما يغادر خلية عبر وجه يدخل جارتها عبر الوجه نفسه بالتدفق المحسوب نفسه. اجمع على كل الخلايا فتلغي التدفقات الداخلية بعضها بعضاً تماماً. تُحفظ الكتلة والزخم والطاقة إجمالياً حتى خطأ التقريب، أياً كانت جودة الشبكة، وهي خاصية يستطيع المهندس فحصها في ميزان الكتلة لكل حساب، ويجب أن يملكها أي نموذج للموائع. وحساب هبوط ضغط يُفقد 2% من الكتلة ليس حساب هبوط ضغط.
السبب الثاني هو الحمل. فحد الحمل ينقل المعلومة في اتجاه واحد، باتجاه المصب. والمعادلات ليست ذاتية المرافقة، والطريقة العددية التي تعامل المنبع والمصب بالتماثل تتعثر. وفي الحجوم المحدودة العلاج طبيعي: استيفاء قيم الوجوه بانحياز نحو جهة المنبع، مع محددات تبقي الحل محدوداً. ومن هنا يأتي عدد بيكليه الخلوي، موضوع المثال المحسوب في مقالنا عن تعلّم CFD: المخطط المركزي يتذبذب حين يتجاوز عدد بيكليه الخلوي 2، ومخطط المنبع من الرتبة الأولى يخفي خطأه في صورة انتشار إضافي.
لماذا تُحل الأجسام الصلبة غالباً بالعناصر المحدودة
للمرونة الخطية بنية مختلفة. فصيغتها الضعيفة، نقطة انطلاق كل برنامج إنشائي بالعناصر المحدودة، تتحقق لكل دالة اختبار مقبولة v:
المؤثر متماثل وموجب التعريف. ولهذا ثلاث نتائج يعتمد عليها محللو الإنشاءات يومياً. مصفوفة الجساءة متماثلة، مما يجعل الحلّالات فعالة. وطريقة غالركن، التي تؤخذ فيها دوال الاختبار ودوال التقريب من الفضاء نفسه، تعطي أفضل تقريب ممكن في معيار الطاقة لشبكة معينة، وهي نتيجة تُعرف بمأخوذة سيا. والعناصر عالية الرتبة (التربيعية والمنحنية وعناصر القشريات والجوائز) تندمج بشكل طبيعي، فيمكن حل تركيزات الإجهاد عند التقويسات والثقوب بعدد متواضع من العناصر.
لا حمل في ميكانيكا الأجسام الصلبة، فلا تواجه أبداً المشكلة التي جعلت الحجوم المحدودة جذابة للموائع. ولها مبدأ تغايري، فتحظى بالمسألة التي تتفوق فيها العناصر المحدودة.
حيث تواجه كل طريقة مشكلة الأخرى
ادفع أياً من الطريقتين إلى أرض الأخرى، فتظهر الصعوبات الرياضية نفسها بأسماء مختلفة.
العناصر المحدودة مع الحمل. عناصر غالركن القياسية المطبقة على جريان يسوده الحمل تتذبذب تماماً كالمخطط المركزي؛ وعلى شبكة أحادية البعد منتظمة بعناصر خطية يكون المخططان متطابقين. والعلاج الكلاسيكي هو صيغة بتروف-غالركن المنحازة على امتداد خطوط الانسياب (SUPG) لبروكس وهيوز (1982)، التي تعدّل دوال الاختبار لتضيف انتشاراً على امتداد خطوط الانسياب فقط. ولمسألة الحمل والانتشار أحادية البعد يكون معامل التثبيت الأمثل:
وبه يكون حل العناصر الخطية دقيقاً عند العقد. ويعمل CFD بالعناصر المحدودة جيداً، وتستخدمه عدة برامج تجارية متعددة الفيزياء. لكنه يحتاج إلى اختيار هذا التثبيت بعناية، وكما يشير مقال Cadence فإن الصيغة الصحيحة تتوقف على المسألة.
عدم الانضغاط، في الحالتين. الأجسام الصلبة شبه غير القابلة للانضغاط (المطاط، بنسبة بواسون تقترب من 0.5) تجعل عناصر الإزاحة منخفضة الرتبة «تنغلق»: تصبح جاسئة بشكل مصطنع. والعلاج صيغة مختلطة يكون فيها الضغط مجهولاً مستقلاً، ويجب أن يحقق فضاءا الضغط والإزاحة شرط توافق هو شرط inf-sup أو LBB. وللجريان غير القابل للانضغاط القيد نفسه تماماً. ففي الحجوم المحدودة متحدة المواضع يظهر على شكل حقول ضغط كرقعة الشطرنج، والعلاج هو استيفاء راي-تشاو الذي يستخدمه كل برنامج CFD تجاري. الرياضيات نفسها بمفردات أخرى، وهذه من ألطف حقائق الميكانيكا الحسابية.
المنشآت الرقيقة. العناصر الصلبة الخطية في الانحناء تعاني من انغلاق القص؛ وعناصر القشريات والجوائز موجودة لأن الصفيحة الرقيقة المقسمة إلى قوالب مكلفة وأشد جساءة مما ينبغي. ومهندس CFD الذي يبني شبكة لحاجز رقيق يواجه المسألة المعاكسة: كيف يمثّل جداراً بلا سماكة في شبكة حجمية.
الدرس للمدير بسيط. يمكن دفع أي نوع من البرامج إلى مجال الآخر. لكن ذلك ينقلك من إعدادات افتراضية مجرّبة إلى خيارات تحتاج إلى متخصص.
انتقال الحرارة: حيث يلتقيان
يستطيع نموذج FEA الإنشائي حلّ التوصيل الحراري في الجسم الصلب جيداً جداً. أما ما لا يستطيع حسابه فهو معامل انتقال الحرارة h عند السطح، لأنه يعتمد على الجريان. فهو يحتاج إلى h مدخلاً. وسؤالان يحددان هل تكفي علاقة تجريبية أو قيمة من كتاب، أم يجب أن يوفر CFD قيمة h.
- هل الجريان بسيط بما يكفي لعلاقة تجريبية؟ جريان مكتمل النمو في أنبوب مستقيم، صفيحة مستوية، أسطوانة في جريان عرضي: العلاقات موجودة وتشتتها معروف. نفاثات صادمة، جريان منفصل خلف درجة، حمل طبيعي في حيّز مغلق، خلط تيارات بدرجات حرارة مختلفة: يتغير h الموضعي على السطح بأضعاف كبيرة، والقيمة الواحدة تخمين. حين تكون معاملات الحمل غير مؤكدة، أو يكون للحمل الطبيعي أثر، استخدم CFD.
- هل يهم الجسمَ الصلب القيمةُ الموضعية؟ عدد بيو Bi = hL/k يقارن مقاومة التوصيل داخل الجسم بمقاومة الحمل عند سطحه. وعدد بيو الصغير يعني أن الجسم شبه متساوي الحرارة عبر سماكته. ولا يعني أن الإجهاد صغير، كما يبيّن المثال أدناه.
مثال محسوب: كيف يصبح خطأ CFD خطأً في الإجهاد
جدار من الفولاذ الكربوني سماكته 10 مم يفصل غازاً ساخناً عن ماء تبريد. قيم نموذجية للفولاذ: الموصلية الحرارية k = 45 W/(m·K)، ومعامل يونغ E = 200 GPa، ومعامل التمدد α = 12 × 10⁻⁶ 1/K، ونسبة بواسون ν = 0.3. الغاز عند 500 °C مع h_g = 100 W/(m²·K)، والماء عند 50 °C مع h_w = 2000 W/(m²·K). جميع القيم توضيحية.
المقاومات الحرارية لغشاء الغاز والجدار وغشاء الماء موصولة على التوالي، لكل متر مربع:
يكون سطحا الجدار عند نحو 80 °C و71 °C. وعدد بيو على جهة الغاز 100 × 0.010 / 45 ≈ 0.02: الجدار شبه متساوي الحرارة بكل معايير انتقال الحرارة.
والآن الإجهاد. لصفيحة توزيع الحرارة فيها خطي عبر السماكة، حرة التمدد في مستويها لكنها ممنوعة من الانحناء، يكون الإجهاد عند السطح:
ستة عشر ميغاباسكالاً من فرق 9 K عبر جدار «شبه متساوي الحرارة». لنفترض الآن أن h على جهة الغاز أُخذ من علاقة تجريبية، وأن الجريان الحقيقي، مع إعادة التدوير قرب مدخل، يعطي 30% أكثر أو 30% أقل:
| h على جهة الغاز، W/(m²·K) | التدفق الحراري، kW/m² | ΔT الجدار، K | الإجهاد الحراري، MPa |
|---|---|---|---|
| 70 (أقل بـ 30%) | 30.0 | 6.7 | 11.4 |
| 100 (الحالة الأساسية) | 42.0 | 9.3 | 16.0 |
| 130 (أكثر بـ 30%) | 53.5 | 11.9 | 20.4 |
تغيير h بنسبة 30% يحرّك الإجهاد بما بين 27 و29%. والسبب ظاهر في ميزانية المقاومات: غشاء الغاز يحمل 93% من المقاومة الكلية، فيتغير التدفق الحراري، ومعه فرق الحرارة في الجدار والإجهاد، بنسبة واحد إلى واحد تقريباً مع h_g. فأياً كان عدم اليقين الذي يحمله CFD لديك (أو علاقتك التجريبية) في معامل انتقال الحرارة، يرثه الإجهاد كله تقريباً.
غيّر المادة إلى فولاذ أوستنيتي مقاوم للصدأ، بقيم نموذجية k ≈ 16 W/(m·K) وE ≈ 193 GPa وα ≈ 16 × 10⁻⁶ 1/K، فيُحدث التدفق الحراري نفسه فرقاً في الجدار نحو 25 K وإجهاداً نحو 56 MPa. جهة المائع لا تكاد تتغير؛ والإجهاد يزيد على ثلاثة أضعاف. لهذا لا يستطيع أي من المحللين العمل وحده على مكوّن ساخن: مهندس CFD يتحكم في q، ومهندس الإنشاءات يتحكم في ما تفعله q.
متى تحتاج إلى ربطهما، وكيف؟
الربط أحادي الاتجاه يكفي لمعظم المسائل الصناعية. شغّل CFD، وانقل درجات الحرارة (أو الضغوط) إلى الشبكة الإنشائية، ثم شغّل FEA. يفترض ذلك أن تشوه المنشأ لا يغيّر الجريان، وهذا صحيح حين تكون الإزاحات صغيرة مقارنة بالخلوص والطبقات الحدية التي تتحكم في الجريان. ففي شفة أو لوح أنابيب مبادل حراري أو غلاف توربين تحت حمل مستقر، يكون الأمر كذلك دائماً تقريباً.
الربط ثنائي الاتجاه (تفاعل المائع والمنشأ، FSI) لازم حين يغيّر التشوه الجريان تغييراً ملموساً: الرفرفة، والأغشية المرنة، والصمامات والحشوات التي تنفتح تحت الضغط، والأوعية الدموية. وهو مكلف، وللمخططات المجزأة، التي يتناوب فيها حلّالا المائع والمنشأ، فخ. فحين يكون المنشأ خفيفاً مقارنة بالمائع الذي يحرّكه (لوح رقيق في الماء، شريان في الدم)، يعمل قصور المائع ككتلة مضافة تزعزع استقرار التبادل، وهي آلية حللها Causin وGerbeau وNobile (2005). الفولاذ في الهواء نادراً ما يواجهها. أما المنشآت الرقيقة في السوائل فتواجهها كثيراً.
انتقال الحرارة المقترن يقع بين الاثنين. فبرنامج CFD الذي يشمل المناطق الصلبة يحل حرارة المائع والجسم الصلب معاً، فلا يلزم تخمين h أبداً؛ ثم يُنقل حقل الحرارة إلى FEA لحساب الإجهاد. وفي المثال أعلاه، هذا هو المسار الصحيح كلما لم تكن جهة الغاز حالة بسيطة لعلاقة تجريبية.
نقل البيانات هو الموضع الذي تخطئ فيه النماذج الجيدة. فالشبكتان لا تتطابقان تقريباً أبداً: شبكة CFD ناعمة في الطبقة الحدية للمائع، وشبكة FEA ناعمة عند التقويسات. حين تنقل البيانات بينهما:
- الحقول مثل الحرارة تحتاج إلى نقل متسق: استوفِ القيمة عند كل عقدة هدف.
- الأحمال مثل القوى والتدفقات الحرارية تحتاج إلى نقل حافظ: يجب أن يساوي المجموع المنقول المجموع المحسوب. تحقق من ذلك. فحمل ضغط منقول تختلف محصلته عن قوة CFD بنسبة 5% يضيف خطأً قدره 5% إلى كل ما بعده.
- في الحالات العابرة يجب أن تتطابق الأزمنة. أقصى إجهاد حراري عند بدء التشغيل يحدث غالباً مبكراً، حين يسخن السطح أسرع من اللب. ونقل الحرارة المستقرة النهائية يفوّته.
أخطاء شائعة كما تبدو على الشاشة
- نموذج إنشائي بمعامل انتقال حرارة واحد على كل السطوح. حقل حرارة أملس، وإجهاد معقول، وخطأ بحجم تشتت h.
- «الجدار شبه متساوي الحرارة، إذن الإجهاد الحراري مهمل». المثال يعطي 16 MPa من 9 K.
- حقل حرارة منقول فيه درز. فشل الاستيفاء حيث تختلف الشبكتان، وغالباً عند تقويس، أي حيث يكون الإجهاد.
- FSI ثنائي الاتجاه افتراضياً. أيام من الحساب لتشوه بضعة ميكرونات لا يغيّر شيئاً في الجريان.
- حساب FSI مجزأ يتباعد لمنشأ خفيف في سائل. هذا هو عدم استقرار الكتلة المضافة. وتنعيم الشبكة لن يعالجه.
- CFD وFEA تسلّمهما فرق مختلفة بافتراضات مختلفة. درجات حرارة مواد مختلفة، ونقاط تشغيل مختلفة، وإجهاد لا يعود إلى أي من النموذجين.
ما الذي كنت سأفعله
لمكوّن تنتقل إليه الحرارة من مائع، كنت سأبدأ بميزانية المقاومات على الورق، كما في المثال. يستغرق ذلك عشر دقائق ويخبرك أي جهة تتحكم في النتيجة. فإذا سادت جهة المائع ولم يكن الجريان حالة من الكتب، فيجب أن يأتي معامل انتقال الحرارة من CFD، ويُفضَّل من نموذج انتقال حرارة مقترن، وتكون النتيجة الإنشائية بجودة هذا المعامل فقط. وإذا سادت جهة الجسم الصلب، فقد تكفي علاقة تجريبية لـ h ويكون الجهد في FEA.
وكنت سأستخدم الربط أحادي الاتجاه ما لم يوجد سبب واضح لأن يغيّر التشوه الجريان، وأتحقق من كل نقل بمقارنة المجاميع: الحرارة الداخلة مقابل الحرارة المنقولة، والقوة المحسوبة مقابل القوة المطبّقة.
وكنت سأبقي النموذجين في اليدين نفسيهما، أو على الأقل في الغرفة نفسها. فدراساتنا تجمع CFD في Ansys Fluent مع التحليل الإنشائي في Ansys Mechanical لهذا السبب بالذات، ودورتانا «نمذجة CFD لجريان السوائل والغازات» و«Static Structural» مصممتان ليأخذهما معاً المهندسون الذين سيُسألون السؤال الذي بدأ به هذا المقال.