Исследование сеточной независимости: пример расчёта GCI

Почему две сетки ничего не доказывают

«Мы посчитали на двух сетках, и поля выглядели одинаково». Эта фраза встречается в очень многих отчётах и означает не то, на что надеялся автор. За двумя похожими картинками полей может скрываться 10% разницы в том единственном числе, которое нужно заказчику.

Исследование сеточной независимости отвечает на вопрос, насколько изменился бы результат на бесконечно мелкой сетке, и отвечает числом. В статье такое исследование разобрано от трёх сеток до фразы для отчёта. Используется методика, опубликованная Челиком с соавторами в 2008 году и основанная на индексе сеточной сходимости Роуча.

Что вы хотите выяснить?

Любое решение методом конечных объёмов содержит погрешность дискретизации, которая уменьшается с уменьшением ячеек. Если сетка достаточно мелкая, погрешность убывает упорядоченно: при схеме второго порядка уменьшение размера ячейки вдвое снижает её примерно вчетверо.

Имея решения на трёх сетках, можно измерить, как быстро меняется результат, экстраполировать его к нулевому размеру ячейки и сказать, насколько результат на мелкой сетке далёк от этого предела. Индекс сеточной сходимости GCI и есть это расстояние с коэффициентом запаса. Он ограничивает только численную погрешность и ничего не говорит о том, верна ли модель турбулентности.

Четыре правила до начала

1. Выберите величину, которая важна. Потери давления, тепловая мощность, максимальная температура. Проводите исследование на том, что войдёт в отчёт.
2. Измельчайте сетку везде и в одинаковое число раз. Меняйте глобальный размер ячейки. Если измельчать только там, где вы предполагали градиенты, вы проверяете собственное предположение.
3. Сохраняйте одинаковый подход к пристеночной области. При пристеночных функциях первая ячейка должна оставаться в допустимом диапазоне на всех трёх сетках. Если пограничный слой разрешается, измельчайте его вместе с остальным.
4. Доводите каждый расчёт до сходимости. Итерационная погрешность должна быть намного меньше различий, которые вы пытаетесь измерить.

Используйте коэффициент измельчения не менее 1,3 по размеру ячейки. В трёх измерениях это означает рост числа ячеек примерно в 2,2 раза на каждом шаге, а коэффициент 1,5 даёт рост примерно в 3,4 раза.

Разбор на примере

Трубопроводный фитинг, стационарное течение, искомая величина: потери давления. Три сетки с постоянным коэффициентом измельчения 1,5. Числа подобраны для иллюстрации методики.

Шаг 1, коэффициент измельчения. По числу ячеек в трёх измерениях он равен 1,5 для каждой пары сеток.

Шаг 2, разности. Обе положительны, вторая меньше первой, значит, результат сходится монотонно.

Шаг 3, наблюдаемый порядок. Формально схема имеет второй порядок, а наблюдается 1,78. Это нормальный результат: реальные сетки с пограничными слоями и ограничителями редко дают ровно 2.

Шаг 4, экстраполяция к нулевому размеру ячейки. Это оценка того, что дала бы бесконечно мелкая сетка.

Шаг 5, индекс сеточной сходимости. Относительное изменение между мелкой и средней сеткой составляет 1,37%. С коэффициентом запаса 1,25, рекомендованным для исследования на трёх сетках, GCI мелкой сетки равен 1,6%, средней 3,3%.

Шаг 6, проверка асимптотической области. Значение, близкое к 1, говорит о том, что все три сетки находятся там, где погрешность убывает упорядоченно, и экстраполяции можно доверять.

Что написать в отчёте

Потери давления на мелкой сетке составляют 1245 Па при численной неопределённости 1,6% (индекс сеточной сходимости, три сетки, коэффициент измельчения 1,5, наблюдаемый порядок 1,78). Экстраполированное значение равно 1229 Па.

И одно решение. Если для задачи допустимы 3,3%, для остальных вариантов достаточно средней сетки, а это меньше трети затрат. В этой экономии и состоит практический смысл проводить исследование в начале проекта.

Когда числа ведут себя плохо

• Разности меняют знак. Это осциллирующая сходимость, и экстраполяция недействительна. Сначала проверьте итерационную сходимость, затем добавьте более мелкую сетку.
• Наблюдаемый порядок далёк от формального. Ниже примерно 0,5 или намного выше порядка схемы. Относитесь к GCI с осторожностью и скажите об этом. Частые причины: грубая сетка пропускает особенность течения, или пристеночные функции на одной из сеток вышли из допустимого диапазона.
• Разности очень малы. Если все три результата совпадают до четырёх знаков, проверьте, действительно ли сетки различаются там, где это важно.
• Результат всё ещё меняется, а на четвёртую сетку нет ресурсов. Приведите результат на мелкой сетке с его GCI, укажите, что асимптотическая проверка не пройдена, и считайте число предварительным.

Какой объём работы соразмерен задаче?

Полное исследование на трёх сетках с указанием GCI оправдано, когда важно абсолютное значение: гарантия, сравнение с испытаниями, публикация. Для быстрого сравнения двух вариантов часто достаточно одного измельчения на интересующей величине, чтобы показать, что порядок вариантов не меняется. Называйте это проверкой чувствительности: оценку неопределённости она не даёт.

Чего я не принял бы, так это отсутствия проверки вообще. У результата на одной сетке погрешность неизвестна, а неизвестная хуже большой.