CFD-Konvergenzkriterien: Warum Residuen allein nicht reichen

Das Diagramm, das Sie getäuscht hat

Sie kennen dieses Diagramm. Die Residuen fallen, unterschreiten 10⁻³, und der Solver meldet, die Lösung sei konvergiert. Sie exportieren die Konturbilder und gehen nach Hause. Am nächsten Morgen fragt jemand nach der Austrittstemperatur, Sie prüfen aus Gewohnheit die Massenbilanz, und Eintritt und Austritt weichen um 4 % voneinander ab.

Nichts ist abgestürzt. Der Solver hat getan, was ihm aufgetragen wurde, und das vorgegebene Kriterium war falsch. Eine konvergierte CFD-Lösung liegt vor, wenn weitere Iterationen die gesuchte Größe nicht mehr verändern und die Erhaltungsgleichungen aufgehen. Residuen sind dafür ein Hinweis und nicht mehr.

Was misst ein Residuum?

Für jede Gleichung summiert der Solver, wie weit jede Zelle von der diskretisierten Bilanz entfernt ist, und teilt durch einen Referenzwert, damit die Zahl lesbar wird. Das ist das skalierte Residuum auf Ihrem Bildschirm.

Es ist eine globale Summe. Eine Million braver Zellen kann hundert schlechte an einer scharfen Kante verdecken, und genau dort wird womöglich Ihr Ergebnis abgelesen.

Außerdem bezieht es sich auf einen Referenzwert, der meist von den ersten Iterationen abhängt. Mit einer guten Startlösung haben die Residuen wenig Raum zu fallen, sodass eine richtige Lösung unkonvergiert aussieht. Mit einer schlechten fallen sie um vier Größenordnungen, während sich das Strömungsfeld noch umsortiert. Ein Residuum von 10⁻³ hat für sich genommen keine physikalische Bedeutung.

Die drei Prüfungen

Ich verwende drei und will alle drei erfüllt sehen.

• Die Residuen sind gefallen und flach geworden. Achten Sie mehr auf die Form der Kurve als auf einen Schwellenwert. Sie sollte um mehrere Größenordnungen fallen und sich dann nicht mehr bewegen.
• Die Größen, auf die es ankommt, ändern sich nicht mehr. Setzen Sie vor dem Start Monitore darauf: Austrittstemperatur, Druckverlust, eine Kraft, die Wärmeleistung. Der Test ist eine flache Kurve in der Genauigkeit, die Sie brauchen.
• Die Bilanzen gehen auf. Eintretende Masse gleich austretender Masse. Eintretende Energie gleich austretender Energie plus dem, was die Wände aufgenommen haben. Für die meisten Ingenieuraufgaben will ich ein Netto-Ungleichgewicht von einem kleinen Bruchteil eines Prozents des Durchsatzes sehen.

Jede Prüfung kann bestanden sein, während eine andere scheitert. Deshalb sind es drei.

Wie es aussieht, wenn sie sich widersprechen

Ein Beispiellauf: ein beheizter Kanal, stationär, mit Monitoren für Austrittstemperatur und Massenbilanz. Die Zahlen sind für das Beispiel erfunden.

Bei Iteration 500 ist das Standardkriterium erfüllt, und der Solver würde anhalten. Die Austrittstemperatur liegt 3,3 K neben ihrem Endwert. Bei einer Erwärmung von 40 K im Kanal sind das 8 % Fehler in der Wärmeleistung, in einem Lauf, der Konvergenz gemeldet hat.

Zwischen Iteration 2.000 und 3.000 stimmen alle drei überein: Das Residuum ist flach, die Temperatur hat sich in der ersten Nachkommastelle nicht bewegt, das Ungleichgewicht ist vernachlässigbar. Das ist Konvergenz.

Wenn die Residuen nicht fallen wollen

• Sie verharren auf einem Plateau. Meist liegt es an wenigen schlechten Zellen. Suchen Sie die Stelle der größten Residuen und sehen Sie sich dort das Netz an. Sind die Monitore flach und die Bilanzen geschlossen, kann das Plateau akzeptabel sein. Schreiben Sie es in den Bericht.
• Sie schwingen mit regelmäßiger Periode. Die Strömung ist womöglich instationär. Der Nachlauf eines stumpfen Körpers oder ein abgelöster Diffusor wirft Wirbel ab, und ein stationärer Solver jagt ihnen endlos nach. Die Lösung ist eine transiente Rechnung. Weitere Iterationen helfen nicht.
• Sie fallen und steigen dann wieder. Etwas läuft langsam schief. Sehen Sie nach, bevor die Rechnung divergiert.
• Sie konvergieren in erster Ordnung, aber nicht in zweiter. Verfahren erster Ordnung verschmieren Gradienten, wodurch alles ruhig und das Ergebnis zu diffusiv wird. Vermutlich ist das Netz zu grob für die realen Gradienten.

Transiente Rechnungen haben zwei Konvergenzen

In einer instationären Simulation muss jeder Zeitschritt in sich konvergieren, und anschließend muss der gesamte Lauf seinen statistisch stationären Zustand erreichen. Oft wird das eine geprüft und das andere vergessen.

Innerhalb eines Zeitschritts sollten die Residuen um etwa zwei Größenordnungen fallen, bevor der Solver weitergeht. Tun sie das nicht, verkleinern Sie den Zeitschritt oder erlauben Sie mehr innere Iterationen. Über den Lauf hinweg sollte die überwachte Größe in ein wiederkehrendes Muster oder einen stabilen Mittelwert übergehen. Mitteln Sie erst danach.

Eine Checkliste, bevor Sie einem stationären Ergebnis trauen

1. Die Residuen sind um mehrere Größenordnungen gefallen und flach.
2. Jede Größe im Bericht hat einen Monitor, und jeder ist in der angegebenen Genauigkeit flach.
3. Das Massenungleichgewicht beträgt einen kleinen Bruchteil eines Prozents des Durchsatzes.
4. Das Energieungleichgewicht ist ebenfalls klein, wo Wärmeübertragung eine Rolle spielt.
5. Die Diskretisierung ist in den letzten Iterationen zweiter Ordnung.
6. Maximal- und Minimalwerte im Feld sind physikalisch plausibel: keine Temperatur unter dem kältesten Eintritt, keine Geschwindigkeit vom Zehnfachen des Eintritts.
7. Wenn etwas schwingt, haben Sie entschieden, ob die Strömung instationär ist.

Das dauert fünf Minuten. Konvergenz ist allerdings nur die erste Frage. Eine vollständig konvergierte Lösung auf einem groben Netz bleibt die falsche Antwort, sorgfältig erreicht. Der nächste Schritt ist herauszufinden, wie stark das Ergebnis vom Netz abhängt.