CFD oder FEA: welche Frage jede beantwortet und wann man beide braucht

Eine häufige Frage und eine bessere Antwort

„Machen wir für diesen Wärmeübertrager CFD oder FEM?“ Das ist eine der häufigsten Fragen, die ein Berechnungsingenieur hört, und die ehrliche Antwort lautet meist: „beides, in einer bestimmten Reihenfolge, und die Reihenfolge zählt mehr als die Wahl“.

CFD oder FEA, kurz gesagt: CFD (numerische Strömungsmechanik) sagt voraus, wie Fluide strömen und Wärme transportieren; FEA (Finite-Elemente-Analyse) sagt meist voraus, wie Festkörper sich verformen, schwingen und Spannungen tragen. CFD beantwortet Fragen zu Strömung, Druckverlust, Mischung und Wärmeübergangskoeffizienten; FEA beantwortet Fragen zu Spannung, Verschiebung, Ermüdung und Eigenfrequenzen. Wo Wärme oder Kraft von einem Fluid in eine Struktur übergeht, wird die Ausgabe des einen Modells zur Eingabe des anderen, und der Fehler geht mit hinüber. Dieser Artikel erklärt, warum beide eine unterschiedliche Mathematik entwickelt haben, wo sie sich treffen und, mit Zahlen, wie eine Unsicherheit in einem CFD-Ergebnis zu einer Unsicherheit in einer Spannung wird.

Warum „CFD oder FEA“ die falschen Dinge vergleicht

Die Wendung stellt eine Anwendung einer Methode gegenüber. Wie Cadence in einer der besseren Herstellererklärungen schreibt, ist FEA eine Methode zur Konstruktion eines numerischen Verfahrens, CFD dagegen ein Anwendungsgebiet numerischer Methoden. Finite Elemente können Strömungsprobleme lösen, und finite Volumen können Festkörperprobleme lösen. Die fairen Paare sind diese:

In der Praxis decken sich beide Paare: Die meisten kommerziellen CFD-Codes arbeiten mit finiten Volumen, die meisten Strukturcodes mit finiten Elementen. Die Gründe sind mathematisch, und sie erklären viel darüber, wie jede Modellart scheitert.

Warum Strömungen meist mit finiten Volumen gelöst werden

Ein Finite-Volumen-Code schreibt das Erhaltungsgesetz für jede Zelle in Integralform, mit Termen für Speicherung, Konvektion, Diffusion und Quellen:

Alles, was eine Zelle durch eine Fläche verlässt, tritt durch dieselbe Fläche mit demselben berechneten Fluss in die Nachbarzelle ein. Summiert man über alle Zellen, heben sich die inneren Flüsse exakt auf. Masse, Impuls und Energie bleiben global bis auf Rundungsfehler erhalten, unabhängig von der Netzqualität; diese Eigenschaft kann ein Ingenieur in der Massenbilanz jeder Rechnung prüfen, und ein Strömungsmodell muss sie haben. Eine Druckverlustrechnung, die 2 % der Masse verliert, ist keine Druckverlustrechnung.

Der zweite Grund ist die Konvektion. Der konvektive Term trägt Information in eine Richtung, stromab. Die Gleichungen sind nicht selbstadjungiert, und ein numerisches Verfahren, das stromauf und stromab symmetrisch behandelt, tut sich schwer. Bei finiten Volumen ist die Abhilfe naheliegend: Flächenwerte mit einer Gewichtung zur Aufwindseite interpolieren, mit Limitern, die die Lösung beschränkt halten. Daher kommt die Zell-Péclet-Zahl, Thema des Rechenbeispiels in unserem Artikel über das Erlernen von CFD: Das zentrale Verfahren oszilliert, wenn die Zell-Péclet-Zahl 2 übersteigt, und das Aufwindverfahren erster Ordnung versteckt seinen Fehler als zusätzliche Diffusion.

Warum Festkörper meist mit finiten Elementen gelöst werden

Die lineare Elastizität hat eine andere Struktur. Ihre schwache Form, der Ausgangspunkt jedes Finite-Elemente-Strukturcodes, gilt für jede zulässige Testfunktion v:

Der Operator ist symmetrisch und positiv definit. Das hat drei Folgen, auf die sich Strukturberechner täglich verlassen. Die Steifigkeitsmatrix ist symmetrisch, was die Solver effizient macht. Das Galerkin-Verfahren, bei dem Test- und Ansatzfunktionen aus demselben Raum stammen, liefert für ein gegebenes Netz die bestmögliche Näherung in der Energienorm, ein Resultat, das als Lemma von Céa bekannt ist. Und Elemente höherer Ordnung (quadratische, gekrümmte, Schalen- und Balkenformulierungen) passen natürlich hinein, sodass Spannungskonzentrationen an Kerben und Bohrungen mit wenigen Elementen aufgelöst werden.

Die Festkörpermechanik hat keine Konvektion, also trifft sie nie auf das Problem, das finite Volumen für Strömungen attraktiv gemacht hat. Sie hat ein Variationsprinzip, also bekommt sie das Problem, in dem finite Elemente am stärksten sind.

Wo jede Methode auf das Problem der anderen trifft

Schieben Sie eine der Methoden ins Gebiet der anderen, und dieselben mathematischen Schwierigkeiten tauchen unter anderen Namen auf.

Finite Elemente bei Konvektion. Standard-Galerkin-Elemente, auf eine konvektionsdominierte Strömung angewandt, oszillieren genau wie das zentrale Verfahren; auf einem gleichmäßigen 1D-Netz mit linearen Elementen sind beide Verfahren identisch. Die klassische Abhilfe ist die Streamline-Upwind-Petrov-Galerkin-Formulierung (SUPG) von Brooks und Hughes (1982), die die Testfunktionen so verändert, dass nur entlang der Stromlinien Diffusion hinzukommt. Für 1D-Konvektion-Diffusion ist der optimale Stabilisierungsparameter:

Damit ist die Lösung mit linearen Elementen in den Knoten exakt. Finite-Elemente-CFD funktioniert gut, und mehrere kommerzielle Multiphysik-Codes nutzen sie. Sie verlangt aber eine sorgfältig gewählte Stabilisierung, und wie der Cadence-Artikel anmerkt, ist die richtige Form problemabhängig.

Inkompressibilität, bei beiden. Nahezu inkompressible Festkörper (Gummi, mit einer Querkontraktionszahl nahe 0,5) lassen verschiebungsbasierte Elemente niedriger Ordnung „locken“: Sie werden künstlich steif. Die Abhilfe ist eine gemischte Formulierung mit dem Druck als eigener Unbekannter, wobei Druck- und Verschiebungsräume eine Verträglichkeitsbedingung erfüllen müssen, die Inf-sup- oder LBB-Bedingung. Inkompressible Strömung hat genau dieselbe Nebenbedingung. Bei kollokierten finiten Volumen zeigt sie sich als schachbrettartige Druckfelder, und die Abhilfe ist die Rhie-Chow-Interpolation, die jeder kommerzielle CFD-Code verwendet. Dieselbe Mathematik in anderem Vokabular, eine der schöneren Tatsachen der numerischen Mechanik.

Dünne Strukturen. Lineare Volumenelemente leiden unter Biegung an Schublocking; Schalen- und Balkenelemente gibt es, weil eine dünne Platte aus Quaderelementen teuer und zu steif ist. Ein CFD-Ingenieur, der ein dünnes Leitblech vernetzt, hat das umgekehrte Problem: wie man eine Wand ohne Dicke in einem Volumennetz darstellt.

Die Lehre für eine Führungskraft ist einfach. Beide Codearten lassen sich ins Gebiet der anderen schieben. Das führt aber weg von erprobten Voreinstellungen hin zu Entscheidungen, die einen Spezialisten brauchen.

Wärmeübertragung: wo sich beide treffen

Ein FEA-Strukturmodell löst die Wärmeleitung im Festkörper sehr gut. Was es nicht berechnen kann, ist der Wärmeübergangskoeffizient h an der Oberfläche, denn der hängt von der Strömung ab. Es braucht h als Eingabe. Zwei Fragen entscheiden, ob eine Korrelation oder ein Lehrbuchwert ausreicht oder ob CFD das h liefern muss.

• Ist die Strömung einfach genug für eine Korrelation? Ausgebildete Strömung im geraden Rohr, eine ebene Platte, ein quer angeströmter Zylinder: Dafür gibt es Korrelationen mit bekannter Streuung. Prallstrahlen, abgelöste Strömung hinter einer Stufe, natürliche Konvektion in einem Gehäuse, Mischung von Strömen unterschiedlicher Temperatur: Das lokale h ändert sich über die Oberfläche um große Faktoren, und ein einzelner Wert ist geraten. Wenn die Konvektionskoeffizienten unsicher sind oder natürliche Konvektion zählt, nutzen Sie CFD.
• Ist dem Festkörper der lokale Wert wichtig? Die Biot-Zahl Bi = hL/k vergleicht den Widerstand der Wärmeleitung im Festkörper mit dem Widerstand der Konvektion an seiner Oberfläche. Eine kleine Biot-Zahl bedeutet, dass der Körper über seine Dicke nahezu isotherm ist. Sie bedeutet nicht, dass die Spannung klein ist, wie das folgende Beispiel zeigt.

Rechenbeispiel: wie ein CFD-Fehler zum Spannungsfehler wird

Eine 10 mm dicke Wand aus unlegiertem Stahl trennt ein heißes Gas von Kühlwasser. Typische Werte für den Stahl: Wärmeleitfähigkeit k = 45 W/(m·K), Elastizitätsmodul E = 200 GPa, Ausdehnungskoeffizient α = 12 × 10⁻⁶ 1/K, Querkontraktionszahl ν = 0,3. Das Gas hat 500 °C bei h_g = 100 W/(m²·K), das Wasser 50 °C bei h_w = 2.000 W/(m²·K). Alle Werte sind illustrativ.

Die Wärmewiderstände von Gasfilm, Wand und Wasserfilm liegen in Reihe, pro Quadratmeter:

Die Wandoberflächen liegen bei etwa 80 °C und 71 °C. Die Biot-Zahl auf der Gasseite beträgt 100 × 0,010 / 45 ≈ 0,02: Die Wand ist nach jedem Maßstab der Wärmeübertragung nahezu isotherm.

Nun die Spannung. Für eine Platte mit linearer Temperaturverteilung über die Dicke, frei in ihrer Ebene dehnbar, aber an der Biegung gehindert, beträgt die Oberflächenspannung:

Sechzehn Megapascal aus 9 K Differenz über eine „nahezu isotherme“ Wand. Nehmen wir nun an, das gasseitige h stammt aus einer Korrelation, und die reale Strömung mit Rezirkulation nahe einem Einlass liefert 30 % mehr oder 30 % weniger:

Eine Änderung von h um 30 % verschiebt die Spannung um 27 bis 29 %. Der Grund steht im Widerstandshaushalt: Der Gasfilm hält 93 % des Gesamtwiderstands, also skalieren der Wärmestrom und mit ihm die Temperaturdifferenz in der Wand und die Spannung fast eins zu eins mit h_g. Welche Unsicherheit Ihre CFD (oder Ihre Korrelation) im Wärmeübergangskoeffizienten trägt, die Spannung erbt fast alles davon.

Wechseln Sie zu einem austenitischen Edelstahl mit typischen Werten k ≈ 16 W/(m·K), E ≈ 193 GPa und α ≈ 16 × 10⁻⁶ 1/K, und derselbe Wärmestrom erzeugt eine Wanddifferenz von etwa 25 K und eine Spannung von etwa 56 MPa. Die Fluidseite ändert sich kaum; die Spannung mehr als verdreifacht sich. Deshalb kann keiner der beiden Ingenieure allein an einem heißen Bauteil arbeiten: Der CFD-Ingenieur bestimmt q, der Strukturingenieur bestimmt, was q anrichtet.

Wann muss man sie koppeln, und wie?

Einseitige Kopplung reicht für die meisten industriellen Probleme. CFD rechnen, Temperaturen (oder Drücke) auf das Strukturnetz übertragen, FEA rechnen. Sie setzt voraus, dass die Verformung der Struktur die Strömung nicht verändert, was zutrifft, wenn die Verschiebungen klein gegenüber den Spalten und Grenzschichten sind, die die Strömung bestimmen. Für einen Flansch, einen Rohrboden eines Wärmeübertragers oder ein Turbinengehäuse unter stationärer Last ist das fast immer so.

Zweiseitige Kopplung (Fluid-Struktur-Interaktion, FSI) braucht man, wenn die Verformung die Strömung merklich verändert: Flattern, flexible Membranen, Ventile und Dichtungen, die sich unter Druck öffnen, Blutgefäße. Sie ist teuer, und partitionierte Verfahren, bei denen Strömungs- und Struktursolver abwechselnd rechnen, haben eine Falle. Ist die Struktur leicht im Verhältnis zum Fluid, das sie bewegt (eine dünne Platte in Wasser, eine Arterie in Blut), wirkt die Trägheit des Fluids als zusätzliche Masse, die den Austausch destabilisiert, ein Mechanismus, den Causin, Gerbeau und Nobile (2005) analysiert haben. Stahl in Luft trifft selten darauf. Dünne Strukturen in Flüssigkeiten oft.

Konjugierter Wärmeübergang liegt dazwischen. Ein CFD-Code, der die Festkörperbereiche einschließt, löst Fluid- und Festkörpertemperatur gemeinsam, sodass h nie geraten werden muss; das Temperaturfeld wird dann für die Spannungen in die FEA übertragen. Für das obige Beispiel ist das der richtige Weg, wann immer die Gasseite kein einfacher Korrelationsfall ist.

Die Datenübertragung ist die Stelle, an der gute Modelle scheitern. Die beiden Netze passen fast nie zusammen: Das CFD-Netz ist in der Fluidgrenzschicht fein, das FEA-Netz an den Kerben. Wenn Sie Daten zwischen ihnen übertragen:

• Felder wie die Temperatur brauchen eine konsistente Übertragung: den Wert an jedem Zielknoten interpolieren.
• Lasten wie Kräfte und Wärmeströme brauchen eine konservative Übertragung: Die übertragene Summe muss der berechneten entsprechen. Prüfen Sie es. Eine übertragene Drucklast, deren Resultierende um 5 % von der CFD-Kraft abweicht, fügt allem Nachfolgenden 5 % Fehler hinzu.
• Bei instationären Vorgängen müssen die Zeitpunkte passen. Die maximale Wärmespannung beim Anfahren tritt oft früh auf, solange sich die Oberfläche schneller erwärmt als der Kern. Wer die stationäre Endtemperatur überträgt, verpasst sie.

Typische Fehler, wie sie auf dem Bildschirm aussehen

• Ein Strukturmodell mit einem einzigen Wärmeübergangskoeffizienten auf allen Flächen. Ein glattes Temperaturfeld, eine plausible Spannung und ein Fehler von der Größe der Streuung in h.
• „Die Wand ist nahezu isotherm, also ist die Wärmespannung vernachlässigbar.“ Das Beispiel ergibt 16 MPa aus 9 K.
• Ein übertragenes Temperaturfeld mit einer Naht. Die Interpolation hat versagt, wo die Netze nicht übereinstimmen, oft an einer Kerbe, also genau dort, wo die Spannung sitzt.
• Zweiseitige FSI als Standard. Tagelanges Rechnen für eine Verformung von wenigen Mikrometern, die an der Strömung nichts ändert.
• Eine partitionierte FSI-Rechnung, die bei einer leichten Struktur in Flüssigkeit divergiert. Das ist die Added-Mass-Instabilität. Netzverfeinerung behebt sie nicht.
• CFD und FEA von verschiedenen Teams mit verschiedenen Annahmen. Unterschiedliche Materialtemperaturen, unterschiedliche Betriebspunkte und eine Spannung, die keinem der beiden Modelle gehört.

Was ich tun würde

Bei einem Bauteil, in das Wärme aus einem Fluid übergeht, würde ich mit dem Widerstandshaushalt auf Papier beginnen, wie im Beispiel. Das dauert zehn Minuten und zeigt, welche Seite das Ergebnis bestimmt. Dominiert die Fluidseite und ist die Strömung kein Lehrbuchfall, muss der Wärmeübergangskoeffizient aus CFD kommen, am besten aus einem Modell mit konjugiertem Wärmeübergang, und das Strukturergebnis ist nur so gut wie dieser Koeffizient. Dominiert die Festkörperseite, kann eine Korrelation für h genügen, und der Aufwand gehört in die FEA.

Ich würde einseitig koppeln, solange es keinen klaren Grund gibt, dass die Verformung die Strömung verändert, und jede Übertragung durch einen Vergleich der Summen prüfen: zugeführte Wärme gegen übertragene Wärme, berechnete Kraft gegen aufgebrachte Kraft.

Und ich würde beide Modelle in denselben Händen halten, oder wenigstens im selben Raum. Unsere Studien verbinden CFD in Ansys Fluent mit Strukturanalyse in Ansys Mechanical genau aus diesem Grund, und unsere beiden Kurse, CFD-Modellierung von Flüssigkeits- und Gasströmungen und Static Structural, sind so aufgebaut, dass Ingenieure sie gemeinsam belegen, denen die Frage gestellt werden wird, mit der dieser Artikel begann.