Netzunabhängigkeitsstudie: ein durchgerechnetes GCI-Beispiel

Warum zwei Netze nichts beweisen

„Wir haben auf zwei Netzen gerechnet, und die Konturbilder sahen gleich aus.“ Dieser Satz steht in sehr vielen Berichten und bedeutet nicht, was sein Verfasser hoffte. Zwei ähnlich aussehende Konturbilder können 10 % Unterschied in genau der einen Zahl verbergen, die der Kunde brauchte.

Eine Netzunabhängigkeitsstudie fragt, wie stark sich Ihr Ergebnis auf einem unendlich feinen Netz ändern würde, und antwortet mit einer Zahl. Dieser Artikel rechnet eine solche Studie durch, von drei Netzen bis zu einem Satz für den Bericht. Die Methode stammt von Celik und Koautoren aus dem Jahr 2008 und beruht auf dem Gitterkonvergenzindex nach Roache.

Was wollen Sie herausfinden?

Jede Finite-Volumen-Lösung trägt einen Diskretisierungsfehler, der mit kleineren Zellen schrumpft. Ist das Netz fein genug, schrumpft der Fehler geordnet: Halbieren Sie die Zellgröße bei einem Verfahren zweiter Ordnung, sinkt der Fehler etwa auf ein Viertel.

Mit Lösungen auf drei Netzen können Sie messen, wie schnell sich das Ergebnis ändert, auf die Zellgröße null extrapolieren und angeben, wie weit das Ergebnis des feinen Netzes von diesem Grenzwert entfernt ist. Der Gitterkonvergenzindex GCI ist dieser Abstand mit einem Sicherheitsfaktor. Er begrenzt nur den numerischen Fehler und sagt nichts darüber, ob das Turbulenzmodell stimmt.

Vier Regeln vor dem Start

1. Wählen Sie die Größe, auf die es ankommt. Druckverlust, Wärmeleistung, eine Spitzentemperatur. Führen Sie die Studie an dem durch, was Sie berichten werden.
2. Verfeinern Sie überall um denselben Faktor. Ändern Sie die globale Zellgröße. Wenn Sie nur dort verfeinern, wo Sie Gradienten vermutet haben, prüfen Sie Ihre Vermutung.
3. Halten Sie die Wandbehandlung konsistent. Bei Wandfunktionen muss die erste Zelle auf allen drei Netzen im gültigen Bereich bleiben. Wenn Sie die Grenzschicht auflösen, verfeinern Sie sie mit dem Rest.
4. Konvergieren Sie jede Rechnung ordentlich. Der Iterationsfehler muss deutlich unter den Unterschieden liegen, die Sie messen wollen.

Verwenden Sie ein Verfeinerungsverhältnis von mindestens 1,3 in der Zellgröße. In drei Dimensionen bedeutet das etwa die 2,2-fache Zellzahl je Schritt, bei einem Verhältnis von 1,5 etwa die 3,4-fache.

Das durchgerechnete Beispiel

Ein Rohrformstück, stationäre Strömung, Zielgröße: Druckverlust. Drei Netze mit konstantem Verfeinerungsverhältnis 1,5. Die Zahlen sind ein Beispiel, gewählt zur Darstellung der Methode.

Schritt 1, das Verfeinerungsverhältnis. Aus den Zellzahlen in drei Dimensionen ergibt sich 1,5 zwischen jedem Netzpaar.

Schritt 2, die Differenzen. Beide sind positiv und die zweite ist kleiner, das Ergebnis konvergiert also monoton.

Schritt 3, die beobachtete Ordnung. Das Verfahren ist formal zweiter Ordnung, beobachtet werden 1,78. Das ist gesund: Reale Netze mit Grenzschichten und Limitern liefern selten genau 2.

Schritt 4, Extrapolation auf Zellgröße null. Das ist die Schätzung dessen, was ein unendlich feines Netz ergeben würde.

Schritt 5, der Gitterkonvergenzindex. Die relative Änderung zwischen fein und mittel beträgt 1,37 %. Mit dem für Drei-Netz-Studien empfohlenen Sicherheitsfaktor 1,25 hat das feine Netz einen GCI von 1,6 % und das mittlere von 3,3 %.

Schritt 6, Prüfung des asymptotischen Bereichs. Ein Wert nahe 1 zeigt, dass die drei Netze dort liegen, wo der Fehler geordnet fällt, sodass man der Extrapolation trauen kann.

Was in den Bericht gehört

Der Druckverlust auf dem feinen Netz beträgt 1.245 Pa bei einer numerischen Unsicherheit von 1,6 % (Gitterkonvergenzindex, drei Netze, Verfeinerungsverhältnis 1,5, beobachtete Ordnung 1,78). Der extrapolierte Wert beträgt 1.229 Pa.

Und eine Entscheidung. Sind 3,3 % für die Aufgabe tolerierbar, genügt das mittlere Netz für die übrigen Fälle, zu weniger als einem Drittel der Kosten. Diese Ersparnis ist der praktische Grund, die Studie am Projektanfang durchzuführen.

Wenn sich die Zahlen schlecht benehmen

• Die Differenzen wechseln das Vorzeichen. Das ist oszillierende Konvergenz, und die Extrapolation ist nicht gültig. Prüfen Sie zuerst die Iterationskonvergenz und fügen Sie dann ein feineres Netz hinzu.
• Die beobachtete Ordnung liegt weit von der formalen entfernt. Unter etwa 0,5 oder deutlich über der Ordnung des Verfahrens. Behandeln Sie den GCI mit Vorsicht und sagen Sie das. Häufige Ursachen sind ein grobes Netz, das ein Strömungsmerkmal verfehlt, und Wandfunktionen, die auf einem Netz ihren gültigen Bereich verlassen.
• Die Differenzen sind winzig. Stimmen alle drei Ergebnisse auf vier Stellen überein, prüfen Sie, ob sich die Netze dort, wo es zählt, wirklich unterscheiden.
• Das Ergebnis bewegt sich noch, und ein viertes Netz ist nicht bezahlbar. Geben Sie das feine Ergebnis mit seinem GCI an, vermerken Sie, dass die asymptotische Prüfung nicht bestanden wurde, und behandeln Sie die Zahl als vorläufig.

Welcher Aufwand ist angemessen?

Eine vollständige Drei-Netz-Studie mit ausgewiesenem GCI ist richtig, wenn ein Absolutwert zählt: eine Garantie, eine Validierung gegen Versuchsdaten, eine Veröffentlichung. Für einen schnellen Vergleich zweier Varianten reicht oft eine Verfeinerung an der Zielgröße, um zu zeigen, dass die Rangfolge nicht kippt. Nennen Sie das eine Sensitivitätsprüfung; eine Unsicherheit liefert sie nicht.

Was ich nicht akzeptieren würde, ist gar keine Prüfung. Ein Ergebnis von einem einzigen Netz hat einen unbekannten Fehler, und unbekannt ist schlimmer als groß.