Critères de convergence en CFD : les résidus ne suffisent pas

Le graphique qui vous a trompé

Vous avez déjà vu ce graphique. Les résidus descendent, passent sous 10⁻³, et le solveur annonce que la solution a convergé. Vous exportez les contours et rentrez chez vous. Le lendemain, on vous demande la température de sortie, vous vérifiez le bilan de masse par habitude, et l’entrée et la sortie diffèrent de 4 %.

Rien n’a planté. Le solveur a fait ce qu’on lui a demandé, et le critère qu’on lui avait donné était mauvais. Une solution CFD convergée est une solution que de nouvelles itérations ne modifient plus pour la grandeur qui vous intéresse, et dont les lois de conservation se referment. Les résidus n’en sont qu’un indice.

Que mesure un résidu ?

Pour chaque équation, le solveur additionne l’écart de chaque cellule au bilan discrétisé, puis divise par une valeur de référence pour que le nombre soit lisible. C’est le résidu normalisé affiché à l’écran.

C’est une somme globale. Un million de cellules sages peuvent en cacher une centaine de mauvaises près d’un angle vif, et ces cent-là peuvent être exactement là où vous relevez votre résultat.

Il est aussi relatif à une référence qui dépend le plus souvent des premières itérations. Partez d’une bonne estimation initiale et les résidus ont peu de marge pour baisser, si bien qu’une solution correcte paraît non convergée. Partez d’une mauvaise et ils chutent de quatre ordres alors que l’écoulement se réorganise encore. Un résidu de 10⁻³ n’a aucun sens physique en soi.

Les trois vérifications

J’en utilise trois, et je les veux toutes.

• Les résidus ont chuté et se sont stabilisés. Regardez la forme de la courbe plus qu’un seuil. Elle doit baisser de plusieurs ordres puis ne plus bouger.
• Les grandeurs qui vous intéressent ne changent plus. Placez des moniteurs avant de lancer le calcul : température de sortie, perte de charge, un effort, la puissance thermique. Le test est une courbe plate à la précision dont vous avez besoin.
• Les bilans se referment. La masse entrante égale la masse sortante. L’énergie entrante égale l’énergie sortante plus ce que les parois ont pris. Pour la plupart des travaux d’ingénierie, je veux un déséquilibre net d’une petite fraction de pour cent du débit.

Chaque vérification peut réussir alors qu’une autre échoue. C’est la raison d’en avoir trois.

À quoi cela ressemble quand elles divergent

Un calcul illustratif : un conduit chauffé en régime permanent, avec des moniteurs sur la température de sortie et le bilan de masse. Les chiffres sont inventés pour l’exemple.

À l’itération 500, le critère par défaut est atteint et le solveur s’arrêterait. La température de sortie est à 3,3 K de sa valeur finale. Si l’échauffement dans le conduit est de 40 K, cela fait 8 % d’erreur sur la puissance thermique pour un calcul déclaré convergé.

Entre les itérations 2 000 et 3 000, les trois concordent : le résidu est plat, la température n’a pas bougé à la première décimale et le déséquilibre est négligeable. Voilà la convergence.

Quand les résidus refusent de baisser

• Ils stagnent sur un palier. En général quelques cellules médiocres. Cherchez où se trouvent les résidus les plus élevés et regardez le maillage à cet endroit. Si les moniteurs sont plats et les bilans fermés, le palier peut être acceptable. Dites-le dans le rapport.
• Ils oscillent avec une période régulière. L’écoulement est peut-être instationnaire. Le sillage d’un corps non profilé ou un diffuseur décollé lâchent des tourbillons, et un solveur stationnaire les poursuivra indéfiniment. La solution est un calcul transitoire. Des itérations supplémentaires n’y changeront rien.
• Ils baissent puis remontent. Quelque chose se dégrade lentement. Regardez avant que le calcul diverge.
• Ils convergent au premier ordre et pas au second. Les schémas du premier ordre lissent les gradients, ce qui calme tout et rend la réponse trop diffusive. Le maillage est sans doute trop grossier pour les gradients réels.

Les calculs transitoires ont deux convergences

Dans une simulation instationnaire, chaque pas de temps doit converger en lui-même, puis l’ensemble du calcul doit atteindre son régime statistiquement établi. On vérifie souvent l’un et on oublie l’autre.

À l’intérieur d’un pas de temps, les résidus doivent baisser de deux ordres environ avant que le solveur passe au suivant. Sinon, réduisez le pas de temps ou augmentez le nombre d’itérations internes. Sur l’ensemble du calcul, la grandeur suivie doit se stabiliser en un motif répétitif ou une moyenne stable. Ne moyennez qu’ensuite.

Une liste de contrôle avant de faire confiance à un résultat stationnaire

1. Les résidus ont baissé de plusieurs ordres et sont plats.
2. Chaque grandeur du rapport a son moniteur, et chacun est plat à la précision annoncée.
3. Le déséquilibre de masse est une petite fraction de pour cent du débit.
4. Le déséquilibre d’énergie est lui aussi faible, lorsque le transfert thermique compte.
5. La discrétisation est du second ordre pour les dernières itérations.
6. Les valeurs maximales et minimales du champ sont physiquement plausibles : pas de température inférieure à l’entrée la plus froide, pas de vitesse dix fois supérieure à celle de l’entrée.
7. Si quelque chose oscille, vous avez décidé si l’écoulement est instationnaire.

Cela prend cinq minutes. La convergence n’est toutefois que la première question. Une solution parfaitement convergée sur un maillage grossier reste une mauvaise réponse, obtenue avec soin. L’étape suivante consiste à savoir à quel point le résultat dépend du maillage.