k-omega SST ou k-epsilon : quel modèle et quel y+

Choisir le modèle, c’est choisir le traitement de la paroi

Demandez à un groupe d’ingénieurs CFD quel modèle de turbulence utiliser, et la plupart répondront k-ω SST. Demandez quel y+ avait leur dernier maillage à la paroi, et les réponses viennent moins vite.

La seconde question décide si la première réponse était bonne. Le choix entre k-ω SST et k-ε est en grande partie un choix sur le traitement de la paroi, et un bon modèle sur un mauvais maillage de proche paroi donne une réponse moins bonne qu’un modèle plus simple bien utilisé. Cet article explique ce que chaque modèle fait bien, le y+ dont chacun a besoin et la façon de calculer la hauteur de la première cellule avant de mailler.

Ce que sont les deux modèles

Tous deux sont des modèles à deux équations. Tous deux ajoutent une viscosité turbulente aux équations de l’écoulement et la calculent à partir de deux grandeurs transportées. Ils diffèrent par la seconde grandeur.

• k-ε transporte l’énergie cinétique turbulente k et son taux de dissipation ε. Il date du début des années 1970. Il se comporte bien au cœur de l’écoulement, est peu sensible à la turbulence supposée à l’entrée et coûte peu. Sa faiblesse est la paroi. La forme standard ne peut pas être intégrée à travers la sous-couche visqueuse et s’appuie donc sur des lois de paroi. Il tend aussi à prédire un décollement trop tardif et trop petit sous gradient de pression adverse, et il produit trop de turbulence aux points d’arrêt.
• k-ω transporte k et le taux de dissipation spécifique ω. Il peut être intégré jusqu’à la paroi et traite mieux les gradients de pression adverses. Sa faiblesse est inverse. Dans sa forme d’origine, la solution dépend de la valeur de ω que vous imposez dans l’écoulement libre.
• k-ω SST, publié par Menter en 1994, utilise k-ω près de la paroi et passe à une formulation k-ε loin d’elle, en prenant le point fort de chacun. Il limite aussi la contrainte de cisaillement turbulente sous gradient de pression adverse, ce qui améliore sa prédiction du décollement.

Cette histoire explique pourquoi SST est devenu le choix par défaut, et un choix par défaut doit encore être confronté au cas que vous avez devant vous.

Qu’est-ce que y+ et pourquoi compte-t-il ?

y+ est une distance adimensionnelle à la paroi.

Ici y est la distance de la paroi au centre de la première cellule, u_τ est la vitesse de frottement, c’est-à-dire la racine carrée de la contrainte pariétale divisée par la masse volumique, et ν est la viscosité cinématique. La valeur indique dans quelle partie de la couche limite se trouve votre première cellule.

Il en découle deux stratégies.

• Résoudre la couche limite. Placez la première cellule dans la sous-couche visqueuse, à un y+ d’environ 1, avec une douzaine de cellules ou plus dans l’épaisseur de la couche limite. Le modèle est intégré jusqu’à la paroi. C’est pour cela que k-ω SST a été conçu.
• Utiliser des lois de paroi. Placez la première cellule dans la zone logarithmique, à un y+ de 30 ou plus, et laissez une formule algébrique fournir la contrainte pariétale. C’est ainsi que le k-ε standard est censé être utilisé.

Avec des lois de paroi standard, l’endroit à éviter est l’entre-deux. Une première cellule à un y+ de 10 se trouve dans la zone tampon, où les hypothèses de la formule ne tiennent pas. De nombreux solveurs actuels proposent des traitements de paroi mixtes ou automatiques qui réduisent cette pénalité sans la supprimer.

Calculer la hauteur de la première cellule

Faites ce calcul avant de mailler. Il prend cinq minutes et évite un remaillage. À titre d’exemple, prenons de l’air à 20 m/s sur une surface de 1 m de long, avec une masse volumique de 1,2 kg/m³ et une viscosité cinématique de 1,5 × 10⁻⁵ m²/s. Le frottement pariétal provient d’une corrélation de plaque plane.

Ce y est la distance au centre de la cellule. Dans un solveur centré sur les cellules, la première cellule est deux fois plus haute, soit environ 0,036 mm pour résoudre la paroi et environ 1,1 mm pour des lois de paroi. Un facteur trente sur la hauteur de la première cellule représente une grande différence de nombre de cellules et de rapport d’aspect. C’est le coût réel du choix.

Deux précautions s’imposent. La corrélation de plaque plane est une estimation, vérifiez donc le y+ indiqué par le solveur après le premier calcul et ajustez. De plus, y+ varie sur une surface. Il tend vers zéro aux points de décollement et de recollement, exactement là où les lois de paroi échouent.

Quel modèle pour quel travail ?

Si vous ne pouvez pas vous permettre de résoudre la paroi sur une grande géométrie industrielle, un modèle k-ε avec des lois de paroi correctement utilisées est un choix défendable. Un modèle SST sur un maillage où y+ vaut 60 partout fonctionne sur ses lois de paroi et a perdu une bonne part de la raison pour laquelle vous l’aviez choisi.

Ce qu’aucun des deux modèles ne sait faire

Tous deux supposent une viscosité turbulente unique, identique dans toutes les directions. Cette hypothèse échoue dans les écoulements fortement tourbillonnaires, dans les écoulements secondaires des conduits non circulaires et en présence d’une forte courbure des lignes de courant.

Tous deux moyennent la turbulence. Si votre question porte sur des charges instationnaires, du bruit ou un mélange piloté par de grands tourbillons, un modèle RANS répond à une autre question que la vôtre, et il faut des méthodes à résolution d’échelles.

Tous deux ont été calibrés sur des écoulements simples. Loin de ces écoulements, considérez le résultat comme une estimation et comparez-le à des données, ou au moins à un second modèle.

Erreurs fréquentes

• Choisir SST par habitude sans jamais vérifier y+. Le modèle fonctionne alors avec un traitement de paroi que vous n’avez pas choisi.
• Raffiner le maillage à la paroi tout en utilisant des lois de paroi standard. La première cellule passe dans la zone tampon et le résultat se dégrade.
• Juger y+ sur sa moyenne. Regardez sa distribution sur les surfaces qui comptent.
• Comparer deux modèles sur deux maillages différents. L’écart appartient alors au maillage autant qu’au modèle.
• Attendre du modèle de turbulence qu’il corrige un problème de maillage. Aucun modèle ne compense des cellules trop grossières ou trop déformées.

En bref

Décidez comment vous traiterez la paroi, ce qui est une décision sur le budget de cellules et sur l’importance du décollement ou du transfert thermique. Cette décision choisit en grande partie le modèle à votre place. Calculez ensuite la hauteur de la première cellule, maillez en conséquence et vérifiez le y+ réellement obtenu.