Étude d’indépendance au maillage : un exemple de GCI

Pourquoi deux maillages ne prouvent rien

« Nous avons calculé sur deux maillages et les contours étaient identiques. » Cette phrase figure dans un très grand nombre de rapports, et elle ne signifie pas ce que son auteur espérait. Deux tracés de contours semblables peuvent cacher 10 % d’écart sur le seul nombre dont le client avait besoin.

Une étude d’indépendance au maillage demande de combien votre résultat changerait si le maillage était infiniment fin, et répond par un nombre. Cet article en déroule une, de trois maillages à une phrase pour le rapport. La méthode est celle publiée par Celik et ses coauteurs en 2008, fondée sur l’indice de convergence de grille de Roache.

Que cherchez-vous à savoir ?

Toute solution en volumes finis porte une erreur de discrétisation qui diminue quand les cellules rétrécissent. Si le maillage est assez fin, l’erreur diminue de façon ordonnée : divisez la taille de cellule par deux avec un schéma du second ordre et l’erreur est divisée par quatre environ.

Avec des solutions sur trois maillages, vous pouvez mesurer la vitesse à laquelle le résultat évolue, extrapoler à une taille de cellule nulle, et dire à quelle distance de cette limite se trouve le résultat du maillage fin. L’indice de convergence de grille, GCI, est cette distance assortie d’un facteur de sécurité. Il borne uniquement l’erreur numérique et ne dit rien de la validité du modèle de turbulence.

Quatre règles avant de commencer

1. Choisissez la grandeur qui compte. Perte de charge, puissance thermique, température maximale. Faites l’étude sur ce que vous rapporterez.
2. Raffinez partout, du même facteur. Modifiez la taille de cellule globale. Si vous ne raffinez que là où vous supposiez des gradients, vous testez votre supposition.
3. Gardez un traitement de paroi cohérent. Avec des lois de paroi, maintenez la première cellule dans la plage valide sur les trois maillages. Si vous résolvez la couche limite, raffinez-la avec le reste.
4. Faites converger chaque calcul correctement. L’erreur d’itération doit être bien inférieure aux différences que vous cherchez à mesurer.

Utilisez un rapport de raffinement d’au moins 1,3 sur la taille de cellule. En trois dimensions, cela représente environ 2,2 fois plus de cellules à chaque étape, et un rapport de 1,5 environ 3,4 fois plus.

L’exemple chiffré

Un raccord de tuyauterie, écoulement permanent, grandeur d’intérêt : la perte de charge. Trois maillages avec un rapport de raffinement constant de 1,5. Les chiffres sont un exemple choisi pour montrer la méthode.

Étape 1, le rapport de raffinement. D’après le nombre de cellules en trois dimensions, il vaut 1,5 entre chaque paire de maillages.

Étape 2, les différences. Les deux sont positives et la seconde est plus petite : le résultat converge de façon monotone.

Étape 3, l’ordre observé. Le schéma est formellement du second ordre et l’on observe 1,78. C’est sain : les maillages réels avec couches limites et limiteurs donnent rarement 2 exactement.

Étape 4, extrapoler à une taille de cellule nulle. C’est l’estimation de ce que donnerait un maillage infiniment fin.

Étape 5, l’indice de convergence de grille. La variation relative entre fin et moyen est de 1,37 %. Avec le facteur de sécurité de 1,25 recommandé pour une étude à trois maillages, le GCI du maillage fin vaut 1,6 % et celui du maillage moyen 3,3 %.

Étape 6, vérifier le domaine asymptotique. Une valeur proche de 1 indique que les trois maillages se situent là où l’erreur décroît de façon ordonnée, et que l’on peut se fier à l’extrapolation.

Ce qui figure dans le rapport

La perte de charge sur le maillage fin est de 1 245 Pa avec une incertitude numérique de 1,6 % (indice de convergence de grille, trois maillages, rapport de raffinement 1,5, ordre observé 1,78). La valeur extrapolée est de 1 229 Pa.

Et une décision. Si 3,3 % sont tolérables pour le travail, le maillage moyen suffit pour les cas restants, à moins d’un tiers du coût. Cette économie est la raison pratique de faire l’étude au début d’un projet.

Quand les chiffres se comportent mal

• Les différences changent de signe. C’est une convergence oscillatoire, et l’extrapolation n’est pas valide. Vérifiez d’abord la convergence itérative, puis ajoutez un maillage plus fin.
• L’ordre observé est loin de l’ordre formel. En dessous de 0,5 environ, ou bien au-dessus de l’ordre du schéma. Traitez le GCI avec prudence et dites-le. Les causes courantes sont un maillage grossier qui manque une structure de l’écoulement et des lois de paroi sorties de leur plage valide sur l’un des maillages.
• Les différences sont minuscules. Si les trois résultats concordent à quatre chiffres, vérifiez que les maillages diffèrent vraiment là où cela compte.
• Le résultat bouge encore et un quatrième maillage est hors de portée. Donnez le résultat fin avec son GCI, indiquez que la vérification asymptotique a échoué et considérez le nombre comme provisoire.

Quel effort est proportionné ?

Une étude complète à trois maillages avec un GCI se justifie quand une valeur absolue compte : une garantie, une validation par rapport à des essais, une publication. Pour une comparaison rapide de deux options, un seul raffinement sur la grandeur d’intérêt suffit souvent à montrer que le classement ne s’inverse pas. Appelez cela une vérification de sensibilité ; elle ne donne pas d’incertitude.

Ce que je n’accepterais pas, c’est l’absence de toute vérification. Un résultat issu d’un seul maillage a une erreur inconnue, et une erreur inconnue est pire qu’une grande erreur.