CFD o FEA: a quale domanda risponde ciascuno e quando servono entrambi

Una domanda frequente e una risposta migliore

«Su questo scambiatore facciamo CFD o FEA?» È una delle domande più frequenti per un analista, e la risposta onesta di solito è: «entrambe, in un certo ordine, e l’ordine conta più della scelta».

CFD o FEA, in breve: la CFD (fluidodinamica computazionale) prevede come i fluidi si muovono e trasportano calore; la FEA (analisi agli elementi finiti) prevede più spesso come i solidi si deformano, vibrano e sopportano tensioni. La CFD risponde a domande su flusso, perdita di carico, miscelazione e coefficienti di scambio termico; la FEA risponde a domande su tensioni, spostamenti, fatica e frequenze proprie. Dove calore o forza passano da un fluido a una struttura, l’uscita di un modello diventa l’ingresso dell’altro, e l’errore passa con essa. Questo articolo spiega perché i due hanno sviluppato una matematica diversa, dove si incontrano e, con i numeri, come un’incertezza in un risultato CFD diventa un’incertezza in una tensione.

Perché «CFD o FEA» confronta le cose sbagliate

L’espressione mette a confronto un’applicazione e un metodo. Come scrive Cadence in una delle migliori spiegazioni di un fornitore, la FEA è un metodo per costruire uno schema numerico, mentre la CFD è un campo di applicazione dei metodi di calcolo. Gli elementi finiti possono risolvere problemi di fluidi, e i volumi finiti problemi di solidi. Le coppie corrette sono queste:

In pratica le due coppie coincidono: la maggior parte dei codici CFD commerciali usa i volumi finiti, e la maggior parte dei codici strutturali gli elementi finiti. Le ragioni sono matematiche, e spiegano molto di come sbaglia ciascun tipo di modello.

Perché i fluidi si risolvono soprattutto ai volumi finiti

Un codice ai volumi finiti scrive la legge di conservazione per ogni cella in forma integrale, con termini di accumulo, convezione, diffusione e sorgente:

Tutto ciò che lascia una cella attraverso una faccia entra nella cella vicina attraverso la stessa faccia, con lo stesso flusso calcolato. Sommando su tutte le celle, i flussi interni si annullano esattamente. Massa, quantità di moto ed energia si conservano globalmente a meno dell’arrotondamento, qualunque sia la qualità della mesh: è una proprietà che un ingegnere può controllare nel bilancio di massa di ogni calcolo, e che un modello di fluido deve avere. Un calcolo di perdita di carico che perde il 2% della massa non è un calcolo di perdita di carico.

La seconda ragione è la convezione. Il termine convettivo trasporta l’informazione in una sola direzione, a valle. Le equazioni non sono autoaggiunte, e un metodo numerico che tratta in modo simmetrico monte e valle fa fatica. Nei volumi finiti il rimedio è naturale: interpolare i valori sulle facce con un’inclinazione verso il lato a monte, con limitatori che mantengono la soluzione limitata. Da qui nasce il numero di Péclet di cella, tema dell’esempio di calcolo nel nostro articolo su come imparare la CFD: lo schema centrato oscilla quando il Péclet di cella supera 2, e l’upwind del primo ordine nasconde il suo errore come diffusione aggiuntiva.

Perché i solidi si risolvono soprattutto agli elementi finiti

L’elasticità lineare ha una struttura diversa. La sua forma debole, punto di partenza di ogni codice strutturale agli elementi finiti, vale per ogni funzione test ammissibile v:

L’operatore è simmetrico e definito positivo. Ciò ha tre conseguenze su cui gli strutturisti contano ogni giorno. La matrice di rigidezza è simmetrica, e questo rende efficienti i solutori. Il metodo di Galerkin, in cui funzioni test e funzioni di prova provengono dallo stesso spazio, dà la migliore approssimazione possibile nella norma dell’energia per una data mesh: è il lemma di Céa. E gli elementi di ordine superiore (quadratici, curvi, guscio e trave) si inseriscono in modo naturale, così le concentrazioni di tensione a raccordi e fori si risolvono con un numero modesto di elementi.

La meccanica dei solidi non ha convezione, quindi non incontra mai il problema che ha reso i volumi finiti attraenti per i fluidi. Ha un principio variazionale, quindi riceve il problema in cui gli elementi finiti sono più forti.

Dove ciascun metodo incontra il problema dell’altro

Spingi uno dei due metodi nel territorio dell’altro, e le stesse difficoltà matematiche compaiono con altri nomi.

Gli elementi finiti sulla convezione. Elementi di Galerkin standard applicati a un flusso dominato dalla convezione oscillano esattamente come lo schema centrato; su una mesh 1D uniforme con elementi lineari i due schemi coincidono. Il rimedio classico è la formulazione Petrov-Galerkin upwind lungo le linee di corrente (SUPG) di Brooks e Hughes (1982), che modifica le funzioni test per aggiungere diffusione solo lungo le linee di corrente. Per la convezione-diffusione 1D il parametro di stabilizzazione ottimale è:

Con esso la soluzione con elementi lineari è esatta nei nodi. La CFD agli elementi finiti funziona bene, e diversi codici multifisici commerciali la usano. Richiede però una stabilizzazione scelta con cura, e come osserva l’articolo di Cadence, la forma giusta dipende dal problema.

L’incomprimibilità, in entrambi. I solidi quasi incomprimibili (la gomma, con coefficiente di Poisson vicino a 0,5) fanno bloccare gli elementi in spostamento di basso ordine: diventano artificialmente rigidi. Il rimedio è una formulazione mista con la pressione come incognita separata, e gli spazi di pressione e spostamento devono soddisfare una condizione di compatibilità, la condizione inf-sup o LBB. Il flusso incomprimibile ha esattamente lo stesso vincolo. Nei volumi finiti a variabili collocate si manifesta come campi di pressione a scacchiera, e il rimedio è l’interpolazione di Rhie-Chow che ogni codice CFD commerciale usa. La stessa matematica con un altro vocabolario, uno dei fatti più belli della meccanica computazionale.

Le strutture sottili. Gli elementi solidi lineari in flessione soffrono di shear locking; gli elementi guscio e trave esistono perché una piastra sottile divisa in mattoncini è costosa e troppo rigida. Un ingegnere CFD che fa la mesh di un deflettore sottile incontra il problema inverso: come rappresentare una parete senza spessore in una mesh di volume.

La lezione per un responsabile è semplice. Ciascun tipo di codice può essere spinto nel campo dell’altro. Farlo però ti porta da impostazioni predefinite collaudate a scelte che richiedono uno specialista.

Lo scambio termico: dove i due si incontrano

Un modello strutturale FEA risolve molto bene la conduzione nel solido. Ciò che non può calcolare è il coefficiente di scambio termico h sulla superficie, perché dipende dal flusso. Gli serve h come ingresso. Due domande decidono se basta una correlazione o un valore da manuale, o se h deve fornirlo la CFD.

• Il flusso è abbastanza semplice per una correlazione? Flusso sviluppato in un tubo diritto, una lastra piana, un cilindro in flusso trasversale: le correlazioni esistono e la loro dispersione è nota. Getti impingenti, flusso separato dietro un gradino, convezione naturale in un ambiente chiuso, miscelazione di correnti a temperature diverse: l’h locale varia di grandi fattori sulla superficie, e un valore unico è una supposizione. Quando i coefficienti di convezione sono incerti, o conta la convezione naturale, usa la CFD.
• Al solido importa il valore locale? Il numero di Biot, Bi = hL/k, confronta la resistenza alla conduzione dentro il solido con la resistenza alla convezione sulla sua superficie. Un numero di Biot piccolo significa che il solido è quasi isotermo nello spessore. Non significa che la tensione sia piccola, come mostra l’esempio qui sotto.

Esempio di calcolo: come un errore CFD diventa un errore di tensione

Una parete di acciaio al carbonio spessa 10 mm separa un gas caldo dall’acqua di raffreddamento. Valori tipici per l’acciaio: conducibilità k = 45 W/(m·K), modulo di Young E = 200 GPa, coefficiente di dilatazione α = 12 × 10⁻⁶ 1/K, coefficiente di Poisson ν = 0,3. Il gas è a 500 °C con h_g = 100 W/(m²·K); l’acqua a 50 °C con h_w = 2.000 W/(m²·K). Tutti i valori sono illustrativi.

Le resistenze termiche del film di gas, della parete e del film d’acqua sono in serie, per metro quadrato:

Le superfici della parete sono a circa 80 °C e 71 °C. Il numero di Biot lato gas è 100 × 0,010 / 45 ≈ 0,02: la parete è quasi isoterma secondo qualsiasi criterio dello scambio termico.

Ora la tensione. Per una piastra con distribuzione di temperatura lineare nello spessore, libera di dilatarsi nel suo piano ma impedita di inflettersi, la tensione in superficie è:

Sedici megapascal da una differenza di 9 K attraverso una parete «quasi isoterma». Supponi ora che l’h lato gas venga da una correlazione, e che il flusso reale, con ricircolo vicino a un ingresso, dia il 30% in più o il 30% in meno:

Una variazione del 30% di h sposta la tensione dal 27 al 29%. Il motivo si legge nel bilancio delle resistenze: il film di gas porta il 93% della resistenza totale, quindi il flusso termico, e con esso la differenza di temperatura nella parete e la tensione, variano quasi uno a uno con h_g. Qualunque incertezza porti la tua CFD (o la tua correlazione) sul coefficiente di scambio termico, la tensione la eredita quasi tutta.

Passa a un acciaio inossidabile austenitico, con valori tipici k ≈ 16 W/(m·K), E ≈ 193 GPa e α ≈ 16 × 10⁻⁶ 1/K, e lo stesso flusso termico produce una differenza nella parete di circa 25 K e una tensione di circa 56 MPa. Il lato fluido quasi non cambia; la tensione più che triplica. Per questo nessuno dei due analisti può lavorare da solo su un componente caldo: l’ingegnere CFD controlla q, lo strutturista controlla che cosa fa q.

Quando serve accoppiarli, e come?

L’accoppiamento a una via basta per la maggior parte dei problemi industriali. Lancia la CFD, trasferisci le temperature (o le pressioni) sulla mesh strutturale, lancia la FEA. Presuppone che la deformazione della struttura non cambi il flusso, il che è vero quando gli spostamenti sono piccoli rispetto ai giochi e agli strati limite che governano il flusso. Per una flangia, una piastra tubiera di uno scambiatore o una cassa di turbina sotto carico stazionario, è quasi sempre così.

L’accoppiamento a due vie (interazione fluido-struttura, FSI) serve quando la deformazione cambia sensibilmente il flusso: flutter, membrane flessibili, valvole e tenute che si aprono sotto pressione, vasi sanguigni. È costoso, e gli schemi partizionati, in cui i solutori di fluido e struttura lavorano a turno, hanno una trappola. Quando la struttura è leggera rispetto al fluido che sposta (un pannello sottile in acqua, un’arteria nel sangue), l’inerzia del fluido agisce come una massa aggiunta che destabilizza lo scambio, un meccanismo analizzato da Causin, Gerbeau e Nobile (2005). L’acciaio in aria lo incontra di rado. Le strutture sottili nei liquidi spesso.

Lo scambio termico coniugato sta nel mezzo. Un codice CFD che include le regioni solide risolve insieme la temperatura del fluido e del solido, così h non deve mai essere indovinato; il campo di temperatura viene poi trasferito alla FEA per le tensioni. Per l’esempio sopra, è il flusso di lavoro giusto ogni volta che il lato gas non è un caso semplice da correlazione.

Il trasferimento dei dati è il punto in cui i buoni modelli sbagliano. Le due mesh non coincidono quasi mai: la mesh CFD è fine nello strato limite del fluido, la mesh FEA è fine ai raccordi. Quando trasferisci dati dall’una all’altra:

• I campi come la temperatura richiedono un trasferimento consistente: interpola il valore in ogni nodo di destinazione.
• I carichi come forze e flussi termici richiedono un trasferimento conservativo: il totale trasferito deve essere uguale al totale calcolato. Controllalo. Un carico di pressione trasferito la cui risultante differisce del 5% dalla forza CFD aggiunge un 5% di errore a tutto ciò che segue.
• Nei transitori gli istanti devono coincidere. La tensione termica massima in un avviamento si verifica spesso presto, mentre la superficie si scalda più in fretta del nucleo. Trasferire la temperatura stazionaria finale la manca.

Errori comuni, come appaiono sullo schermo

• Un modello strutturale con un unico coefficiente di scambio su tutte le superfici. Un campo di temperatura liscio, una tensione plausibile, e un errore pari alla dispersione su h.
• «La parete è quasi isoterma, quindi la tensione termica è trascurabile.» L’esempio dà 16 MPa da 9 K.
• Un campo di temperatura trasferito con una cucitura. L’interpolazione è fallita dove le mesh non coincidono, spesso in un raccordo, cioè proprio dove sta la tensione.
• FSI a due vie per abitudine. Giorni di calcolo per una deformazione di pochi micron che nel flusso non cambia nulla.
• Un calcolo FSI partizionato che diverge per una struttura leggera in un liquido. È l’instabilità da massa aggiunta. Raffinare la mesh non la cura.
• CFD e FEA consegnate da team diversi con ipotesi diverse. Temperature del materiale diverse, punti di funzionamento diversi, e una tensione che non appartiene a nessuno dei due modelli.

Che cosa farei

Per un componente in cui il calore passa da un fluido a una struttura, comincerei dal bilancio delle resistenze su carta, come nell’esempio. Richiede dieci minuti e dice quale lato governa il risultato. Se domina il lato fluido e il flusso non è un caso da manuale, il coefficiente di scambio deve venire dalla CFD, preferibilmente da un modello di scambio termico coniugato, e il risultato strutturale vale quanto vale quel coefficiente. Se domina il lato solido, può bastare una correlazione per h, e lo sforzo va messo nella FEA.

Userei l’accoppiamento a una via, a meno di una ragione chiara per cui la deformazione cambi il flusso, e controllerei ogni trasferimento confrontando i totali: calore entrante contro calore trasferito, forza calcolata contro forza applicata.

E terrei entrambi i modelli nelle stesse mani, o almeno nella stessa stanza. I nostri studi combinano la CFD in Ansys Fluent con l’analisi strutturale in Ansys Mechanical proprio per questo motivo, e i nostri due corsi, Modellazione CFD di flussi di liquidi e gas e Static Structural, sono pensati per essere seguiti insieme dagli ingegneri a cui verrà posta la domanda da cui è partito questo articolo.