Studio di indipendenza dalla mesh: un esempio di GCI

Perché due mesh non dimostrano nulla

«Abbiamo calcolato su due mesh e i contorni erano uguali.» Questa frase compare in moltissime relazioni, e non significa ciò che il suo autore sperava. Due mappe di contorni simili possono nascondere il 10% di differenza proprio nell’unico numero che serviva al cliente.

Uno studio di indipendenza dalla mesh chiede di quanto cambierebbe il risultato se la mesh fosse infinitamente fine, e risponde con un numero. Questo articolo ne svolge uno, da tre mesh a una frase per la relazione. Il metodo è quello pubblicato da Celik e coautori nel 2008, basato sull’indice di convergenza di griglia di Roache.

Che cosa vuoi scoprire?

Ogni soluzione ai volumi finiti porta con sé un errore di discretizzazione che si riduce al diminuire delle celle. Se la mesh è abbastanza fine, l’errore si riduce in modo ordinato: dimezza la dimensione di cella con uno schema del secondo ordine e l’errore scende a circa un quarto.

Con soluzioni su tre mesh puoi misurare quanto velocemente cambia il risultato, estrapolare a dimensione di cella nulla e dire quanto il risultato della mesh fine dista da quel limite. L’indice di convergenza di griglia, GCI, è quella distanza con un fattore di sicurezza. Limita soltanto l’errore numerico e non dice nulla sulla correttezza del modello di turbolenza.

Quattro regole prima di iniziare

1. Scegli la grandezza che conta. Perdita di carico, potenza termica, una temperatura di picco. Fai lo studio su ciò che riporterai.
2. Raffina ovunque, dello stesso fattore. Cambia la dimensione globale di cella. Se raffini solo dove pensavi ci fossero i gradienti, stai verificando la tua ipotesi.
3. Mantieni coerente il trattamento a parete. Con le funzioni di parete, tieni la prima cella nell’intervallo valido su tutte e tre le mesh. Se risolvi lo strato limite, raffinalo insieme al resto.
4. Porta a convergenza ogni calcolo. L’errore di iterazione deve essere ben al di sotto delle differenze che vuoi misurare.

Usa un rapporto di raffinamento di almeno 1,3 sulla dimensione di cella. In tre dimensioni significa circa 2,2 volte il numero di celle a ogni passo, e un rapporto di 1,5 circa 3,4 volte.

L’esempio svolto

Un raccordo di tubazione, flusso stazionario, grandezza di interesse: la perdita di carico. Tre mesh con rapporto di raffinamento costante pari a 1,5. I numeri sono un esempio scelto per mostrare il metodo.

Passo 1, il rapporto di raffinamento. Dal numero di celle in tre dimensioni vale 1,5 tra ogni coppia di mesh.

Passo 2, le differenze. Entrambe sono positive e la seconda è minore, quindi il risultato converge in modo monotono.

Passo 3, l’ordine osservato. Lo schema è formalmente del secondo ordine e si osserva 1,78. È un valore sano: le mesh reali con strati limite e limitatori raramente danno esattamente 2.

Passo 4, estrapolare a dimensione di cella nulla. È la stima di ciò che darebbe una mesh infinitamente fine.

Passo 5, l’indice di convergenza di griglia. La variazione relativa tra fine e media è dell’1,37%. Con il fattore di sicurezza 1,25 raccomandato per uno studio a tre mesh, la mesh fine ha un GCI dell’1,6% e la media del 3,3%.

Passo 6, verificare l’intervallo asintotico. Un valore vicino a 1 indica che le tre mesh si trovano dove l’errore cala in modo ordinato, quindi l’estrapolazione è affidabile.

Che cosa scrivere nella relazione

La perdita di carico sulla mesh fine è 1.245 Pa con un’incertezza numerica dell’1,6% (indice di convergenza di griglia, tre mesh, rapporto di raffinamento 1,5, ordine osservato 1,78). Il valore estrapolato è 1.229 Pa.

E una decisione. Se il 3,3% è tollerabile per il lavoro, la mesh media basta per i casi restanti, a meno di un terzo del costo. Questo risparmio è il motivo pratico per fare lo studio all’inizio del progetto.

Quando i numeri si comportano male

• Le differenze cambiano segno. È una convergenza oscillatoria, e l’estrapolazione non è valida. Controlla prima la convergenza iterativa, poi aggiungi una mesh più fine.
• L’ordine osservato è lontano da quello formale. Sotto circa 0,5 o molto sopra l’ordine dello schema. Tratta il GCI con cautela e dichiaralo. Cause comuni sono una mesh rada che non coglie una struttura del flusso e funzioni di parete uscite dall’intervallo valido su una delle mesh.
• Le differenze sono minuscole. Se i tre risultati coincidono fino a quattro cifre, verifica che le mesh differiscano davvero dove conta.
• Il risultato si muove ancora e una quarta mesh non è sostenibile. Riporta il risultato fine con il suo GCI, dichiara che la verifica asintotica non è superata e considera il numero provvisorio.

Quanto impegno è proporzionato?

Uno studio completo a tre mesh con GCI dichiarato è corretto quando conta un valore assoluto: una garanzia, una validazione rispetto a dati di prova, una pubblicazione. Per un confronto rapido tra due alternative, spesso basta un raffinamento sulla grandezza di interesse per mostrare che la graduatoria non si inverte. Chiamala verifica di sensibilità; non fornisce un’incertezza.

Quello che non accetterei è l’assenza di qualsiasi verifica. Un risultato da una sola mesh ha un errore ignoto, e ignoto è peggio di grande.